О гравитационных потерях при полетах с малой тягой |
| К. Е. Левин, Ю. И. Лобановский |
| |
Краткое содержание |
| Рассматривается элементарный метод оценки характеристической скорости перелета аппарата малой тяги между круговыми орбитами. Сравнение полученных оценок с результатами численного моделирования полетов в гравитационном поле Земли демонстрирует их прекрасное согласование вплоть до окрестностей лунной орбиты. Показано, что гравитационные потери аппаратов малой тяги растут при увеличении высоты конечной орбиты, и в пределе более чем удваивают характеристическую скорость перелета по сравнению с аппаратами большой тяги. |
| |
| |
ТАБЛИЦА СИМВОЛОВ |
- v - наблюдаемая скорость
- u - характеристическая скорость
- R - радиус круговой орбиты
- G - гравитационный параметр
- E - полная удельная энергия тела
- δ - приращение
- Δ - оператор приращения
|
| Индексы |
- 0 - с бесконечно малой тягой
- 1 - стартовая орбита
- 2, 3 - финишная орбита или траектория
- s - численное моделирование
- h - гомановский перелет
- * - характерная величина
|
| |
| Как известно, аппараты с электрореактивными двигателями малой тяги (ЭРД) рассматриваются в качестве перспективных кандидатов для межорбитальных перелетов, в том числе и в гравитационной сфере Земли. Предполагается, что вследствие значительно большего удельного импульса ЭРД (10 - 300 км/с) по сравнению с удельным импульсом тепловых ракетных двигателей (3.5 - 9 км/с) [1-3], использование двигателей малой тяги может привести к увеличению доли полезной нагрузки в стартовой массе межорбитального буксира, несмотря на очень сильный рост массы такой силовой установки. |
| Для предварительного анализа основных параметров межорбитальных буксиров очень желательно иметь простые методы оценки характеристической скорости транспортной операции. Элементарные методы расчета для буксиров большой тяги, движение которых происходит по отрезкам эллипсов, парабол или гипербол, давно и широко известны (см., например, [4]). Аппараты малой тяги движутся, как правило, по сложным спиральным траекториям, элементарные методы оценки основных параметров которых хотя и существуют (см., например, [5, 6]), но известны значительно менее широко. Поэтому приведем простой вывод формулы расчета характеристической скорости такой транспортной операции, а также путем сравнения с результатами численных решений оценим ее точность. |
| Рассмотрим тело на круговой орбите радиуса R вокруг центра гравитации. На такой орбите скорость v и полная удельная энергия тела E будут соответственно равны: |
| v = (G/R)1/2 | (1) |
| E = v2/2 − G/R = −G/(2R) | (2) |
|
| где G - гравитационный параметр (произведение гравитационной постоянной на массу центра гравитации). Для Земли G = 3.986·1014 м3/с2. |
| В потенциальном поле, когда реактивная сила направлена вдоль вектора скорости, по определению характеристической скорости ее малое изменение Δu связано с изменением удельной энергии тела следующим образом ΔE: |
|
|
| Вследствие (1), (2) и (3) малое изменение наблюдаемой скорости на очень пологом витке, соответствующее изменению удельной энергии, с точностью до знака равно малому изменению характеристической скорости: |
| Δv = −ΔE/(-2E)1/2 = −Δu | (4) |
|
| Если в течение всего перелета с одной круговой орбиты на другую направление траектории мало отличается от трансверсального, то есть переход происходит по очень пологой многовитковой спирали, то из выражения (4) следует, что характеристическая скорость транспортной операции приблизительно равна разности скоростей начальной и конечной круговых орбит: |
| u ≈ v1 − v2 = Δv |
| То же самое будет и при перелете с более высокой круговой орбиты на более низкую, только знак в выражении (1) изменится на противоположный. Таким образом, получается, что характеристическая скорость перелета с бесконечно малой тягой (с бесконечно большим числом витков спирали) u0 может быть записана как: |
|
|
| Для сравнения, приращение характеристической скорости для оптимального (гомановского) импульсного перелета (при бесконечно большой тяге) равно: |
| uh = {21/2[(R11/2+R21/2)/(R1+R2)1/2] − 1} |Δv| |
| Рассмотрим теперь, насколько применима формула (5) для оценки характеристической скорости межорбитальных перелетов в гравитационном поле Земли. Для этого проведем сравнение результатов численного моделирования перелета аппарата малой тяги с низкой круговой орбиты (LEO) на геостационарную орбиту (GSO), в точку либрации системы Земля-Луна и достижения параболической (второй космической) скорости [7]. Во всех случаях высота исходной орбиты была близка к 200 км, удельный импульс составлял 10 км/с, а стартовое реактивное ускорение - 5.7 мм/с2, что близко к верхней границе диапазона ускорений аппаратов малой тяги [4]. На рисунках траекторий, иллюстрирующих полученные результаты, цифрами обозначено расстояние от центра Земли в километрах. |
1 - Перелет LEO/GSO. |
 |
| Рис.1 |
| Здесь показана траектория, полученная в результате численного моделирования перехода LEO/GSO. При этом: |
- u0 = 4740 м/с
- us = 4738 м/с
- uh = 3941 м/с
|
| Результат численного моделирования us практически совпадает с оценкой (5). Увеличение характеристической скорости перелета с малой тягой (гравитационные потери) составляет около 800 м/с, отношение us/uh = 1.20. |
2 - Выход в точку либрации. |
 |
| Рис.2 |
| Здесь показана траектория, полученная в результате численного моделирования выхода с LEO в устойчивую точку либрации L4 или L5 системы Земля-Луна. |
- u0 = 6778 м/с
- us = 6646 м/с
- uh = 3969 м/с
|
| Погрешность формулы (5) равна 2%. Увеличение характеристической скорости перелета с малой тягой составляет около 2680 м/с, отношение us/uh = 1.67. |
3 - Переход на траекторию отлета. |
 |
| Рис.3 |
| Здесь показана траектория, полученная в результате численного моделирования перехода на траекторию отлета из сферы действия Земли вплоть до достижения параболической скорости. |
- u0 = v1 = 7792 м/с
- us = 6639 м/с
- uh = (√2 − 1) v1 = 3228 м/с
|
| Погрешность формулы (5) равна 17%. Увеличение характеристической скорости перелета с малой тягой составляет около 3410 м/с, отношение us/uh = 2.06. |
| Причина снижения точности формулы (5) по мере удаления финишной точки разгона от Земли вполне очевидна: становится неверным предположение о том, что траектория близка к круговой. Однако, как показывает сравнение с численными расчетами, по крайней мере, в пределах лунной орбиты эта формула обеспечивает прекрасную точность оценки характеристической скорости межорбитальных перелетов с малой тягой между круговыми орбитами. А вне ее пределов эту скорость можно считать постоянной и равной, примерно, 6.65 км/с. |
| Характеристическая скорость является мерой затрат на преобразование кинетической энергии реактивной струи в энергию движущегося аппарата (энергетической характеристикой космической операции [4]). Из выражения (3) следует, что чем больше его наблюдаемая скорость, тем более эффективно происходит это преобразование. При пассивном движении в центральном поле гравитации или при движении с малой тягой по виткам спиральной траектории, мало отличающимся от окружностей, наблюдаемая скорость аппарата, а, значит и эффективность его разгона, падают по мере удаления от центра гравитации. Все это легко проиллюстрировать простыми оценками. Если характеристическая скорость при импульсном разгоне u* = (√2 − 1)v1, то аппарат достигнет местной бесконечности с нулевой скоростью. Если там еще раз повторить эту разгонную операцию, то при полной характеристической скорости двухимпульсной разгонной операции u3 = 2u* скорость полета аппарата после такого разгона будет равна |
| v3 = u* = 0.5u3 = (√2 - 1)v1 |
| Однако, при замене этих двух импульсов одним на низкой круговой орбите такая же скорость в местной бесконечности после одноимпульсного разгона определяется из условия |
| v2 = [(v1 + u2)2 − 2v12]1/2 = (√2 − 1)v1, u2 ≥ u*, |
| и она будет достигнута, если характеристическая скорость операции u2 уменьшится по сравнению с величиной u3 в 1.75 раза. При старте с околоземной орбиты высотой 200 км u3 = 6.46 км/с, u2 = 3.69 км/с. Отметим не слишком существенные различия между этими данными и приведенными выше при сравнении характеристических скоростей импульсных и спиральных траекторий (примеры 2 и 3). Ясно, что рассмотренная двухимпульсная схема качественно моделирует энергетику спирального разгона с малой тягой. |
| Если представить характеристическую скорость как u = (1 + δ)u*, то при δ → 0 отношение u3/u2 → 2.6/√δ, и, скажем, при δ = 0.1 u3/u2 ≈ 8.2 - во столько раз будет эффективнее разгон на минимальном расстоянии от центра гравитации по сравнению с локальной бесконечностью. Только при δ-1 → 0 влиянием гравитационного поля на условия разгона можно пренебречь, и u3/u2 → 1. Таким образом, гравитационные потери, представляющие собой увеличение характеристической скорости перелета, возникают вследствие того, что разгон аппарата производится не в оптимальной для этой операции области гравитационного поля. Следовательно, при разгоне с использованием малой тяги доля гравитационных потерь в характеристической скорости, как и показано выше, растет по мере удаления финального участка орбиты от центра гравитации. В случае движения в гравитационном поле Земли потери еще не слишком значительны при перелете на стационарную орбиту (порядка 0.2 от характеристической скорости), однако уже при достижении окрестностей орбиты Луны они примерно на 2/3 увеличивают характеристическую скорость такого перелета по сравнению с импульсным. |
| Следует отметить, что при большой и/или умеренной тяге в межорбитальных полетах характеристическая скорость практически не отличается от случая импульсного перелета. Если же аппарат большой или умеренной тяги при возвращении тормозится в атмосфере Земли, то характеристическая скорость обратного перелета будет гораздо меньше, чем прямого. Аппарат малой тяги такой возможности лишен, так как у него обязательно должны быть очень большие крылья солнечных батарей или радиаторов-излучателей тепловой энергии ядерного реактора. При такой конструкции аппарата вход его в атмосферу исключен. Поэтому, суммарная характеристическая скорость перелета, например, с LEO в точку либрации и обратно для аппарата большой тяги с аэродинамическим торможением может составить около 5 км/с, а у аппарата малой тяги - не менее 13.3 - 13.5 км/с, то есть, примерно, в 2.7 раза больше. |
| При этом удельный импульс силовой установки большой и/или умеренной тяги может доходить до 12 - 17.5 км/с [8, 9], а с учетом разумного ограничения длительности транспортной операции аналогичный параметр силовой установки с ЭРД вряд ли превысит значения 30 - 50 км/с. Вследствие этого, выбор оптимальной силовой установки для межорбитального транспорта не так прост и очевиден, как могло бы показаться на первый взгляд. |
| |
Ссылки |
- Engine Design //
http://207.28.11.252/eblue/independent/honors1/space/Engdes.html
- Петренко С., Иванов А. - Большое видится на расстоянии. Двигатель, N 3, 1999 //
http://engine.avias.com/issues/03/page40.html
- Борисов А. - Отечественные ядерные двигатели. Новости космонавтики, N 9, 2002 //
http://www.novosti-kosmonavtiki.ru/content/numbers/218/58.shtml
- В. И. Левантовский - Механика космического полета в элементарном изложении. Москва, Наука, 1980.
- Cohen M. J. - Low Thrust Spiral Trajectory of a Satelllite of Variable Mass. AIAA Journal, 3, no 3, 1965.
- Суханов А. А. - Современные методы механики космического полета и их приложения, 2000 //
http://iki.cosmos.ru/seminar/200002/abstract.html
- Левин К. Е. - OrbitalModel //
www.geocities.com/levinkirill/LaunchModel
- Лобановский Ю.И. - Экономически эффективная деятельность в космосе: лунная орбита - реальная альтернатива глубинам Земли, 2003 //
http://www.synerjetics.ru/
- Пономаренко А.В., Пономаренко В.Г. - Оценка возможности создания Термоядерной Инерциальной Космической Реактивной Импульсной Системы "ТИКРИС" //
http://webcenter.ru/~nep96sam/termo.htm
|
| |
| Благодарности - авторы выражают свою искреннюю благодарность И. Суслову за обсуждение данной работы. |
| |
| 20.05.2003 К. Е. Левин, Ю.И. Лобановский |
| |
